本質的に、関数とは 対応規則 入力集合（ 定義域）から、出力集合（ 値域）に厳密に一つの要素を割り当てる規則です。この決定論的な関係は、数学的モデル構築の基盤となり、ある変数の振る舞いが他方の変数によって完全に規定されることを記述可能にします。
次のような 塩濃度モデルを考えましょう。純水のタンクに海水を注入する場合、濃度 $C(t)$ は時間 $t$ の関数になります。任意の特定の時刻を選んだとき、濃度はただ一つの値しか取り得ません。この「1つの入力に対して1つの出力」というルールこそが微積分の核心です。
関数の定義
関数 $f$ とは、集合 $D$ 内の各要素 $x$ に対して、集合 $E$ 内のちょうど一つの要素 $f(x)$ を割り当てる規則です。これを代数的に次の式で表すことができます：
- $y = mx + b$（線形）
- $f(x) = \sqrt{x}$（平方根）
- $\{(x, f(x)) \mid x \in D\}$（集合論的定義）
関数とは単なる式だけではありません。値の表（ 表形式関数）や、順序対の集合として定義することも可能です。
幾何学的条件
垂直線テスト（VLT）： xy 平面上の曲線が $x$ の関数であるためには、その曲線と垂直線が一度より多く交わらないことが必要十分です。これにより、「1つの出力」の要件が満たされることが保証されます。
実用的な評価：差分商
これらの関係における変化を測る際、よく表現式 $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ を評価します。
ステップバイステップの例
関数 $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ について、差分商を評価します：
- $(a+h)$ を $f$ に代入：$f(a+h) = 2(a+h)^2 - 5(a+h) + 1$
- 展開：$2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h + 1 = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1$
- $f(a)$ を引く：$(2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1) - (2a^2 - 5a + 1) = 4ah + 2h^2 - 5h$
- $h$ で割る：$\frac{4ah + 2h^2 - 5h}{h} = 4a + 2h - 5$。
🎯 核心原則
関数は厳密な依存関係を表します。$y = f(x)$ のとき、$y$ は 従属 変数であり、$x$ は 独立 変数です。定義域 $D$ はすべての可能な入力の集合であり、値域はすべての結果として得られる出力の集合です。